Session de rattrapage 2005

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Partie 1

On considère l équation différentielle ` E : y'' -2y'+y= x-1 `

1) Résoudre l équation différentielle ` : y''-2y'+y = 0 `

2) Déterminer `a, b` pour que `y_0 = ax+b ` soit solution de `E`

3) On considère la fonction définie sur `[0,+infty[` définie par `g(x)= (x-1)e^x +x+1`

a) Montrer que `g` est solution de l équation `E`

b) Calculer `g'(x)` puis en déduire qu'elle est strictement croissante

c) Montrer que `forall x >= 0 : g(x) >= 0`

Partie II
on considère la fonction `f` définie sur `R^(ast) ` par `f(x)= {xe^x}/{(e^x-1)^2}`

1) a) Montrer que `f` est impaire

b) calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` puis donner l interprétation graphique du résultat obtenu

2) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x) = 0` puis donner l interprétation graphique du résultat obtenu

3) Montrer que `f'(x) = -e^x/(e^x-1)^3xxg(x)` , puis donner tableau des variations de `f`